Question

6．将边长相等的正方形、正六边形的一边重合丙叠在一起，过正六边形的顶点B作正方形的边AC的垂线，垂足为点D，则tan∠ABD=2-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由正方形和正六边形的性质得出AC=BC，∠ACB=30°，由等腰三角形的性质得出∠CAB=∠CBA=75°，由直角三角形的性质得出∠ABD=15°，作∠BAE=∠ABD=15°，则AE=BE，由三角形的外角性质得出∠AED=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出AE=2AD，设AD=x，则AE=BE=2x，DE=$\sqrt{3}$x，得出BD=（2+$\sqrt{3}$）x，即可得出结果．

解答 解：∵边长相等的正方形、正六边形的一边重合叠在一起，
∴AC=BC，∠ACB=120°-90°=30°，
∴∠CAB=∠CBA=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
∵BD⊥AC，
∴∠ABD=90°-75°=15°，
作∠BAE=∠ABD=15°，如图所示：
则AE=BE，∠AED=15°+15°=30°，
∴AE=2AD，
设AD=x，则AE=BE=2x，DE=$\sqrt{3}$x，
∴BD=（2+$\sqrt{3}$）x，
∴tan∠ABD=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{x}{（2+\sqrt{3}）x}$=2-$\sqrt{3}$；
故答案为：2-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正多边形和圆、正方形的性质、正六边形的性质、等腰三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度．