题目内容
△ABC中，AB=AC，AD∥BC，E在AB上，若DE=DC，求证：∠AED=∠BCE．考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质
专题：证明题
分析：作DM⊥AB延长线于M点，DN⊥AC于N点，可证RT△DME≌RT△DNC，得∠AED=∠DCA，再证明∠ACB=∠DCE，即可解题．
解答：解：作DM⊥AB延长线于M点，DN⊥AC于N点，
∵AD∥BC，
∴∠MAD=∠B，∠DAN=∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠MAD=∠DAN，
∴DM=DN，
在RT△DME和RT△DNC中，
，
∴RT△DME≌RT△DNC（HL），
∴∠AED=∠DCA，∠MDE=∠NDC，
∴∠MDN=∠EDC，
∵∠MAD=∠ABC，∠DAN=∠ACB，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∠DMA+∠DNA+∠MAN+∠MDN=360°，
∴∠MDN=∠BAC，
∴∠EDC=∠BAC，
∴∠ACB=∠DCE，
∵∠BCE+∠ACE=∠ACB，∠ACD+∠ACE=∠DCE，
∴∠DCA=∠BCE，
∴∠AED=∠BCE．
∵AD∥BC，
∴∠MAD=∠B，∠DAN=∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠MAD=∠DAN，
∴DM=DN，
在RT△DME和RT△DNC中，
|
∴RT△DME≌RT△DNC（HL），
∴∠AED=∠DCA，∠MDE=∠NDC，
∴∠MDN=∠EDC，
∵∠MAD=∠ABC，∠DAN=∠ACB，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∠DMA+∠DNA+∠MAN+∠MDN=360°，
∴∠MDN=∠BAC，
∴∠EDC=∠BAC，
∴∠ACB=∠DCE，
∵∠BCE+∠ACE=∠ACB，∠ACD+∠ACE=∠DCE，
∴∠DCA=∠BCE，
∴∠AED=∠BCE．
点评：此题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中求证RT△DME≌RT△DNC是解题的关键．
练习册系列答案
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