Question

16．如图，⊙O的半径OA=5cm，AB是弦，∠OAB=30°，现有一动点C从A出发，沿弦AB运动到B，再从B沿劣弧BA回到点A．
（1）若AC=$\frac{1}{2}$AB，求OC的长；
（2）若BC=CO时，求∠COA的度数．

Answer 1

分析 （1）当点C在AB上，如图1，由于点C为AB的中点，根据垂径定理的推论得到OC⊥AB，然后根据含30度的直角三角形三边的关系易得OC=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{5}{2}$cm；当点C在$\widehat{AB}$上，易得OC=5；
（2）如图2，连结OB，先利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠AOB=120°，然后分类讨论：当点C在AB的C′处，BC′=C′O，由等腰三角形的性质得∠OBC′=∠BOC′=30°，所以∠C′OA=90°；
当C点在弧AB上时，可判断△OBC为等边三角形，则∠BOC=60°，所以∠COA=60°．

解答 解：（1）当点C在AB上，如图1，
∵AC=$\frac{1}{2}$AB，即点C为AB的中点，
∵OC⊥AB，
在Rt△OAC中，∵∠A=30°，
∴OC=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{5}{2}$cm；
当点C在$\widehat{AB}$上，则OC=5；
（2）如图2，连结OB，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠A=30°，
∴∠AOB=120°
当点C在AB的C′处，BC′=C′O，
则∠OBC′=∠BOC′=30°，
∴∠C′OA=120°-30°=90°；
当C点在弧AB上时，
CB=OC，
而OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠COA=60°．
综上所述，∠COA的度数为90°或60°．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等边三角形的判定与性质和圆心角、弧、弦的关系．