Question

已知如图，直线y=

4

3

x+8与x轴、y轴分别交于点N、M，菱形ABCD的各顶点分别在坐标轴上，对角线交于原点O，已知点A坐标为（0，4），点B坐标为（-3，0）．直线MN沿着y轴的负方向以每秒4个单位的速度匀速运动，与此同时，菱形ABCD也沿着y轴的负方向以每秒1个单位的速度匀速运动，设运动时间为t（秒），运动后直线MN与x轴交于点P，与y轴交于点Q．
（1）直接写出当t=0.5时，P、Q两点的坐标；
（2）试探究：在整个运动过程中，直线MN与菱形的边有公共点的时间有多长？
（3）当直线MN与菱形的边有公共点时，以PQ为直径的圆能否与菱形的边AB所在直线相切？如能，求出此时t的值；如不能，说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据平移的规律“上加下减”写出直线PQ的解析式，根据解析式来求P、Q两点的坐标；
（2）直线MN与菱形的边有公共点的时间段为：点Q与菱形ABCD的顶点A重合到点Q与顶点C重合这一时间段．此题为追击问题．根据“点Q与点A、C的运动时间相等”列出关于t的方程，通过方程来解答问题；
（3）分①当Q在x轴上方；②当Q在x轴下方；两种情况讨论可得以PQ为直径的圆能与菱形的边AB所在直线相切时t的值．

解答：解：（1）∵直线MN沿着y轴的负方向以每秒4个单位的速度匀速运动，
∴t=0.5时，直线MN在y的负方向上移动的距离是：4×0.5=2．
则直线MN平移后的解析式为：y=

4

3

x+8-2=

4

3

x+6，即y=

4

3

x+6．
则当x=0时，y=6．
当y=0时，x=-

9

2

．
所以P（-

9

2

，0），Q（0，6）；

（2）∵直线MN的解析式为y=

4

3

x+8，
∴M（0，8），
又∵在菱形ABCD中，点A坐标为（0，4），则点C的坐标是（0，-4），
∴OA=4，OM=8，CM=12．
当点Q与顶点A重合时，4t-t=4，
解得 t=

4

3

（秒）．
当点Q与顶点C重合时，4t-t=12，
解得 t=4，
∴4-

4

3

=

8

3

（秒）
故直线MN与菱形的边有公共点的时间有

8

3

秒；

（3）当MN与菱形有交点，AQ=3t-4，
∵A（0，4），B（-3，0），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
∴sin∠BAO=

3

5

，
∴QE=

3

5

（3t-4），
①当Q在x轴上方，
∵PO=6-3t，OQ=8-4t，
∴PQ=10-5t，
（10-5t）÷2=

3

5

（3t-4），
解得t=

74

43

；
②当Q在x轴下方，
PQ=5t-10，
（5t-10）÷2=

3

5

（3t-4），
解得t=

26

7

．
综上所述，t=

74

43

或

26

7

时，以PQ为直径的圆能与菱形的边AB所在直线相切．

点评：考查了一次函数综合题，涉及了一次函数平移的规律，菱形的性质，切线的判定及性质及方程思想、分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．