Question

如图（1），已知：点C为线段AB上一点，且△ACM和△CBN都是等边三角形，若连结AN、BM，通过证明△CAN≌△CMB，可证AN=MB．
（1）若以AB为对称轴，将△CBN翻折，如图（2），求证：AN=MB．
（2）若以点C为旋转中心，将△ACM顺时针旋转180°，达到新的位置，请你画出旋转后的图形并判断结论“AN=BM”是否仍能成立，写出你的结论并说明理由．
（3）在（2）中得到的图形内，若将NB延长与AM相交于D，则可判断△ABD是

 

三角形，四边形CMDN是

 

四边形．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）根据等边三角形的性质可得AC=CM，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，根据等角的补角相等求出∠ACN=∠MCB，再利用“边角边”证明△ACN和△MCB全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=MB；
（2）根据等边三角形的性质可得AC=CM，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，再利用“边角边”证明△ACN和△MCB全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=MB；
（3）求出∠CAM=∠ABD=60°，再根据三角形的内角和定理求出∠ADB=60°，然后根据三个角都相等的三角形是等边三角形解答；根据内错角相等两直线平行求出MD∥CN，CM∥ND，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答．

解答：（1）证明：∵△ACM和△CBN都是等边三角形，
∴AC=CM，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，
∴∠ACN=∠MCB，
在△ACN和△MCB中，

AC=CM ∠ACN=∠MCB BC=CN

，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=MB；

（2）解：AN=MB成立．
证明如下：∵△ACM和△CBN都是等边三角形，
∴AC=CM，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，
在△ACN和△MCB中，

AC=CM ∠ACM=∠BCN BC=CN

，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=MB；

（3）∵△ACM和△CBN都是等边三角形，
∴∠CBN=∠CAM=60°，
∴∠ABD=∠CBN=60°（对顶角相等），
∴∠ADB=180°-60°×2=60°，
∴∠ABD=∠CAM=∠ADB，
∴△ABD是等边三角形；
∵∠ADB=∠BNC=60°，
∴MD∥CN，
∵∠ADB=∠AMC=60°，
∴CM∥ND，
∴四边形CMDN是平行四边形．
故答案为：等边，平行．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行线的性质，平行四边形的判定，熟练掌握等边三角形的性质确定出三角形全等的条件是解本题的关键．