Question

如图，AB是⊙O的直径，点A、C、D在⊙O上，BP是⊙O的切线，连接PD并延长交⊙O于F、交AB于E，若∠BPF=∠ADC．
（1）判断直线PF与AC的位置关系，并说明你的理由；
（2）当⊙O的半径为5，tan∠P=

1

2

，求AC的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）连接BC，根据三角形内角和定理求出∠CAB=∠PEB，根据平行线的判定推出即可．
（2）求出sin∠ABC=sin∠P=

1

2

，代入求出即可．

解答：（1）解：直线BP和⊙O相切，
理由：连接BC，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠CAB=90°，
∵直线BP和⊙O相切，
∴∠PBA=90°，
∴∠P+∠PEB=90°，
∵∠P=∠ADC，
∴∠PEB=∠CAB，
∴PF∥AC；

（2）解：由已知，得∠ACB=90°，∠P=∠ADC=∠ABC，⊙O的半径为5，
∴AB=10，
∵tan∠P=

1

2

，
∴sin∠ABC=

AC

AB

，
∴AC=AB×

5

5

=2

5

．

点评：本题考查了切线的性质，三角形内角和定理，平行线的判定，解直角三角形的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算能力．