Question

12．如图，在等边△ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E、F是AC上的点，判断下列说法错误的是（　　）

• A． 若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线
• B． 若EF是⊙O的切线，则EF⊥AC
• C． 若BE=EC，则AC是⊙O的切线
• D． 若BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$EC，则AC是⊙O的切线

Answer 1

分析 A、如图1，连接OE，根据同圆的半径相等得到OB=OE，根据等边三角形的性质得到∠BOE=∠BAC，求得OE∥AC，于是得到A选项正确；B、由于EF是⊙O的切线，得到OE⊥EF，根据平行线的性质得到B选项正确；C、根据等边三角形的性质和圆的性质得到AO=OB，如图2，过O作OH⊥AC于H，根据三角函数得到OH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AO≠OB，于是得到C选项错误；D、如图2根据等边三角形的性质和等量代换即可得到D选项正确．

解答 解：A、如图1，连接OE，
则OB=OE，
∵∠B=60°
∴∠BOE=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOE=∠BAC，
∴OE∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OE⊥EF，
∴EF是⊙O的切线
∴A选项正确；
B、∵EF是⊙O的切线，
∴OE⊥EF，
由A知：OE∥AC，
∴AC⊥EF，
∴B选项正确；
C、∵∠B=60°，OB=OE，
∴BE=OB，
∵BE=CE，
∴BC=AB=2BO，
∴AO=OB，
如图2，过O作OH⊥AC于H，
∵∠BAC=60°，
∴OH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AO≠OB，
∴C选项错误；
D、如图2，∵BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$EC，
∴CE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$BE，
∵AB=BC，BO=BE，
∴AO=CE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$OB，
∴OH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AO=OB，
∴AC是⊙O的切线，
∴D选项正确．
故选C．

点评 本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．