如图.二次函数y=x2+bx+c的图象经过A两点.与y轴交于点C.过点A的直线与y轴交干点D.与抛物线交于点M.且tan∠BAM=1．(1)求该二次函数的解析式,(2)若点Q在抛物线上.且S△QOC=4S△AOC.求点Q的坐标,(3)P为抛物线上一动点.E为直线AD上一动点.是否存在点P.使以点A.P.E为顶点的三角形为等腰直角三角形?若存在.请求出所有点P的坐标,若不存在.请说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．

如图，二次函数y=x²+bx+c的图象经过A（1，0），B（-3，0）两点，与y轴交于点C，过点A的直线与y轴交干点D，与抛物线交于点M，且tan∠BAM=1．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若点Q在抛物线上，且S_△QOC=4S_△AOC，求点Q的坐标；
（3）P为抛物线上一动点，E为直线AD上一动点，是否存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据已知的两点的坐标代入二次函数的解析式即可求得两个待定系数，从而确定二次函数的解析式；
（2）首先求得点C的坐标，然后设点Q的坐标为（x，x²+2x+3），根据S_△QOC=4S_△AOC求得|x|=4，从而求得x的值，代入点Q即可求解；
（3）分AE=PE时、当AP=PE时、当AP=AE时三种情况利用等腰直角三角形的性质求得P（-3，0）或（-2，-3）．

解答解：（1）二次函数y=x²+bx+c的图象经过A（1，0），B（-3，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=0}\\{9=0-3b+c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
∴二次函数的解析式为y=x²+2x-3；

（2）设x=0，
∴y=3，
∴C（0，-3），
∴OC=3，
设点Q的坐标为（x，x²+2x-3），
∵S_△QOC=4S_△AOC，
∴$\frac{1}{2}$×3×|x|=4×$\frac{1}{2}$×3×1，
∴|x|=4，
x=±4，
当x=4时，x²+2x-3=16+8-3=21；
当x=-4时，x²+2x-3=16-8-3=5，
∴点Q的坐标为（4，21）或（-4，5）；

（3）在Rt△AOD中，
∵tan∠OAD=$\frac{OD}{OA}$=1，
∴OD=OA，
∴∠BAD=45°，
分情况讨论：①AE=PE时，
∵△APE为等腰直角三角形，
∴∠EPA=∠EAP=45°，
∵∠DAB=45°，
∴此时点P与点B重合．
∴P（-3，0）；
②当AP=PE时，则∠PEA=∠EAP=45°，
∴∠EPA=90°，
此时点P与点B重合，P（-3，0）；

③当AP=AE时，则∠EAP=90°，
设AP与y轴交于点F，
∵∠OAP=∠OFA=45°，
∴OA=OF=1，
∴F（0，-1），
设直线AP的解析式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{0=k+b}\\{-1=b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直线AP的解析式为y=x-1，
设P（x，x²+2x-3），
∴x²+2x-3=x-1，
解得：x=1（不合题意），x=-2，
∴P（-2，-3），
综上所述，P（-3，0）或（-2，-3）．