Question

如图，在△ABC中，AB=10，BC=8，AC=6，AD⊥AB交BC的延长线于D．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）求线段AD的长．

Answer 1

考点：勾股定理的逆定理,勾股定理

专题：

分析：（1）由条件可得AB²=BC²+AC²，可知∠ACB=90°，可得结论；
（2）由条件可证得△ABC∽△DAC，可得到

BC

AC

=

AB

AD

，代入可求得AD．

解答：（1）证明：
∵AB=10，BC=8，AC=6，
∴AB²=BC²+AC²，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，
∴AC⊥BD；
（2）解：
由（1）可知∠ACB=∠ACD=90°，
∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°，
∴∠B+∠BAC=∠BAC+∠CAD=90°，
∴∠B=∠DAC，
∴△ABC∽△DAC，
∴

BC

AC

=

AB

AD

，
即

8

6

=

10

AD

，
解得AD=7.5．

点评：本题主要考查直角三角形的判定及相似三角形的判定和性质，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键，注意利用相似比求线段长．