Question

17．如图．点P是△ABC的外角∠EAB的平分线AF上的一点．PD垂直平分BC，PG⊥AB．求证：BG=AG+AC．

Answer 1

分析 作HP⊥CE，H为垂足，根据角平分线的性质得到PH=PG，推出Rt△APH≌Rt△APG，根据全等三角形的性质得到AH=AG，由PD垂直平分BC，得到PC=PB，证得Rt△PHC≌Rt△PGB，于是得到CH=BG，等量代换即可得到结论．

解答 证明：作HP⊥CE，H为垂足，
∵点P是△ABC的外角∠EAB的平分线AF上的一点，PG⊥AB，
∴PH=PG，
在Rt△APH与Rt△APG中，
$\left\{\begin{array}{l}{PH=PG}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴Rt△APH≌Rt△APG，
∴AH=AG，
∵PD垂直平分BC，
∴PC=PB，
在Rt△PHC与Rt△PGB中，
$\left\{\begin{array}{l}{PH=PG}\\{PC=PB}\end{array}\right.$，
∴Rt△PHC≌Rt△PGB，
∴CH=BG，
∵CH=AC+AH=AC+AG，
∴BG=AG+AC．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．