Question

7．【原题】
如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线与∠ABC的平分线交于点O，过点O作OD⊥AB，交AB于点D（BD＞AD），求证：BC-AC=BD-AD．
【尝试探究】
在图1中过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，连接OC，因为∠BAC的平分线与∠ABC的平分线交于点O，所以OD=OE=OF，所以CO是∠ACB的平分线，BD=所以利用全等三角形的性质可得BD=BE，AD=AF，CE=CF，所以BC-AC=BD-AD
【类比延伸】
如图2，在四边形ABCD中，各角的平分线交于点O，试判断AB，BC，CD，AD之间的数量关系，并加以证明．

Answer 1

分析 尝试探究：过点O作OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，连接OC，由角平分线的性质得到0D=OE=OF，根据全等三角形的性质得到结论；
类比延伸；．过O作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OM⊥CD于M，ON⊥AD于N，由角平分线的性质得到OE=OF，根据全等三角形的性质得到BE=BF，CF=CM，DM=DN，AN=AE，于是得到AB+CD=AD+BC．

解答 解：尝试探究：如图1
过点O作OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，连接OC，
∵OD⊥AB，∠BAC的平分线与∠ABC的平分线交于点O，
∴0D=OE=OF，CO是∠ACB的平分线，
在Rt△ADO与Rt△AFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OF}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADO≌Rt△AFO（HL），
∴AD=AF，
同理BD=BE，CF=CE，
∴BC-AC=BE+CE-AF-CF=BE-AF=BD-AD；

类比延伸；AB+CD=AD+BC．
如图2过O作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OM⊥CD于M，ON⊥AD于N，
∵BO平分∠ABC，
∴OE=OF，
在Rt△BOE与Rt△BOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{BO=BO}\end{array}\right.$，
Rt△BOE≌Rt△BOF（HL），
∴BE=BF，
同理CF=CM，DM=DN，AN=AE，
∴AB+CD=AE+BE+CM+DM，
AD+BC=AN+BF+CF+DN，
∴AB+CD=AD+BC．

点评 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等式的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．