题目内容
4．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，作∠ACM，使得∠ACM=$\frac{1}{2}$∠ABC，点D是直线BC上的动点，过点D作直线CM的垂线，垂足为E，交直线AC于F．（1）当点D与点B重合时，如图1所示，DF与EC的数量关系是DF=2EC；
（2）当点D在直线BC上运动时，DF和EC是否始终保持上述数量关系呢？请你画出点D运动到CB延长线上某一点时的图形，并证明此时DF与EC的数量关系．
分析 （1）延长BA，CM交点N，先证明BC=BN，得出CN=2CE，再证明△BAF≌△CAN，得出对应边相等BF=CN，即可得出结论；
（2）作∠PDE=22.5，交CE的延长线于P点，交CA的延长线于N，先证明PD=CD，得出PC=2CE，再证明△DNF≌△PNC，得出对应边相等DF=PC，即可得出结论．
解答 解：延长BA，CM交点N，如图（1）所示：
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠ACM=$\frac{1}{2}$∠ABC=22.5°，
∴∠BCM=67.5°，
∴∠BNC=67.5=∠BCM，
∴BC=BN，
∵BE⊥CE，
∴∠ABE=22.5°，CN=2CE，
∴∠ABE=∠ACM=22.5°，
在△BAF和△CAN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠NAC=90°}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\\{∠ABF=∠ACM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAF≌△CAN（ASA），
∴BF=CN，
∴BF=2CE；
（2）保持上述关系；证明如下：
作∠PDE=22.5，交CE的延长线于P点，交CA的延长线于N，
如图（2）所示：
∵DE⊥PC，∠ECD=67.5，
∴∠EDC=22.5°，
∴∠PDE=∠EDC，∠NDC=45°，
∴∠DPC=67.5°，
∴PD=CD，
∴PE=EC，
∴PC=2CE，
∵∠NDC=45°，∠NCD=45°，
∴∠NCD=∠NDC，∠DNC=90°，
∴ND=NC且∠DNC=∠PNC，
在△DNF和△PNC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DNC=∠PNC}&{\;}\\{ND=NC}&{\;}\\{∠PDE=∠PCN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DNF≌△PNC（ASA），
∴DF=PC，
∴DF=2CE．
点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质；通过作辅助线证明等腰三角形和全等三角形是解决问题的关键．
全能测控期末小状元系列答案
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D为BC上的中点，O是线段AD上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O交AC于点E，EF⊥BC于点F，则EF是⊙O的切线．（填“是”或“不是”）
如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，D是弧AC上一点，连接BD，E是BD上一点，且BE=CD．
已知：如图平面直角坐标系xOy中，C在x轴上，四边形OABC为菱形，且A点坐标
已知，如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AC=DF，BF=CE．求证：
如图，在△ABC中，AB＞AC，AF是∠BAC的平分线，D是AB上一点，AD=AC．