Question

14．如图，抛物线C：y=-x²-2x+3交x轴于A、B两点，交y轴于M点，将抛物线C₁向右平移2个单位后得到抛物线C₂，与x轴交于C、D两点．
（1）求抛物线C₂对应的函数表达式；
（2）抛物线C₁或C₂在x轴上方的部分是否存在点N，使以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B，根据平移规律，可得C，D，根据交点式函数解析式，可得答案；
（2）根据平移规律，可得MN与AC的关系，根据平行四边形的判定，可得答案．

解答 解：（1）当y=0时，-x²-2x+3=0，
解得x₁=-3，x₂=1，∴A（-3，0），B（1，0），
∵将抛物线C₁向右平移2个单位后得到抛物线C₂，
∴C（-1，0），D（3，0），a=-1，
∴抛物线C₂对应的函数表达式y=-（x+1）（x-3），
即y=-x²+2x+3；
（2）存在，
如图1，
①令x=0，得y=3，∴M（0，3），
∵抛物线C₂时C₁向右平移2个单位得到的，
∴点N（2，3）在C₂上，且MN=2，MN∥AC．
∵AC=2，
∴MN=AC，
∴四边形ACNM为平行四边形，
②令x=0，得y=3，
∴M（0，3），
∵抛物线C₁向右平移2个单位得到C₂，
∴点N（-2，3）在C₂上，且MN′=2，MN′∥AC．
∵AC=2，
∴MN′=AC，
∴四边形ACMN′为平行四边形，
综上所述，存在点N（2，3）（-2，3），使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．

点评 本题考察了二次函数综合题，解（1）的关键是利用平移得出C，D点的坐标，又利用了交点式解析式；解（2）的关键是利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，要分类讨论，以防遗漏．