Question

18．如图，点A是反比例函数y₁=$\frac{2}{x}$（x＞0）图象上的任意一点，过点A作AB∥x轴，交另一个反比例函数y₂=$\frac{k}{x}$（k＜0，x＜0）的图象于点B，且S_△AOB=5．
（1）k的值为-8；
（2）若点A的横坐标是1，
①求∠AOB的度数；
②在y₂的图象上找一点P（异于点B），使S_△AOP=S_△AOB，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先设AB交y轴于点C，由点A是反比例函数y₁=$\frac{2}{x}$（x＞0）图象上的任意一点，AB∥x轴，根据反比例函数系数k的几何意义求得△AOC的面积，又由△AOB的面积等于5，可求得△BOC的面积，继而求得k的值；
（2）①由点A的横坐标是1，可求得点A的坐标，继而求得点B的纵坐标，则可求得点B的坐标，则可求得AB，OA，OB的长，然后由勾股定理的逆定理，求得∠AOB的度数；
②过点A作AM⊥x轴于点A，过点P作PN⊥x轴于点N，设P（x，-$\frac{8}{x}$），根据反比例函数系数k的几何意义得出S_△NOP=$\frac{1}{2}$×8=4，S_△AOM=$\frac{1}{2}$×2=1．由S_△AOP=S_{△梯形APNM}-S_△NOP-S_△AOM=S_△AOB=5，列出方程$\frac{1}{2}$（2-$\frac{8}{x}$）×（1-x）-4-1=5，解方程即可．

解答 解：（1）如图1，设AB交y轴于点C，
∵点A是反比例函数y₁=$\frac{2}{x}$（x＞0）图象上的任意一点，且AB∥x轴，
∴AB⊥y轴，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$×2=1，
∵S_△AOB=5，
∴S_△BOC=4，
∵反比例函数y₂=$\frac{k}{x}$（k＜0，x＜0）的图象过点B，AB⊥y轴，
∴-$\frac{1}{2}$k=4，
∴k=-8；
故答案为：-8；

（2）①∵点A的横坐标是1，
∴y=$\frac{2}{1}$=2，
∴点A（1，2），
∵AB∥x轴，
∴点B的纵坐标为2，
∴2=-$\frac{8}{x}$，
解得：x=-4，
∴点B（-4，2），
∴AB=AC+BC=1+4=5，OA=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，OB=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴OA²+OB²=AB²，
∴∠AOB=90°；

②如图2，过点A作AM⊥x轴于点A，过点P作PN⊥x轴于点N，设P（x，-$\frac{8}{x}$），
则S_△NOP=$\frac{1}{2}$×8=4，S_△AOM=$\frac{1}{2}$×2=1．
∵S_△AOP=S_{△梯形APNM}-S_△NOP-S_△AOM=S_△AOB=5，
∴$\frac{1}{2}$（2-$\frac{8}{x}$）×（1-x）-4-1=5，
整理，得x²+5x+4=0，
解得x₁=-1，x₂=-4（不合题意舍去），
∴点P的坐标为（-1，8）．

点评 此题考查了反比例函数的系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理的逆定理，图形的面积等知识．注意第（2）问②中，设P（x，-$\frac{8}{x}$），根据S_△AOP=S_{△梯形APNM}-S_△NOP-S_△AOM=S_△AOB=5列出方程是关键．