Question

1．如图所示，已知△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则下列三个结论①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CQP中（　　）

• A． 全部正确
• B． 仅①和②正确
• C． 仅①正确
• D． 仅①和③正确

Answer 1

分析 根据角平分线性质求出∠PAB=∠PAC，∠PSA=∠PRA=90°，根据AAS推出△PAR≌△PAS，根据全等三角形的性质得出AR=AS，根据等腰三角形性质推出∠CAP=∠APQ，推出∠BAP=∠APQ，根据平行线的性质得出PQ∥AB，最后根据全等三角形的判定判断③即可．

解答 解：∵PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，
∴∠PAB=∠PAC，∠PSA=∠PRA=90°，
在△PAR和△PAS中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAR=∠PAS}\\{∠PRA=∠PSA}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△PAR≌△PAS（AAS），
∴AR=AS，∴①正确；
∵AQ=PQ，
∠CAP=∠APQ，
∵∠CAP=∠BAP，
∴∠BAP=∠APQ，
∴PQ∥AB，∴②正确；
∵PR⊥AB，PS⊥AC，
∴∠PRB=∠PSC=90°，
∴PQ＞PS，
∵PR=PS，
∴PQ＞PR，
∴不能推出△BRP≌△CQP，∴③错误．
故选B．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能推出△PAR≌△PAS是解此题的关键．