题目内容
【题目】如图1，直线PQ⊥直线MN，垂足为O，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，斜边AB与直线PQ交于点C．
（1）若∠A=∠AOC=30°，则BC_______BO（填“＞”“＝”“＜”）；
（2）如图2，延长AB交直线MN于点E，过O作OD⊥AB，若∠DOB=∠EOB，∠AEO=α，求∠AOE的度数（用含α的代数式表示）；
（3）如图3，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点R，∠A=36°，当△AOB绕O点旋转（斜边AB与直线PQ始终相交于点C），问∠R的度数是否发生改变？若不变，求其度数；若改变，请说明理由．
【答案】（1）=；（2）
；（3）
的度数不变，
．
【解析】
（1）由直角三角形两锐角互余及等角的余角相等得∠BOC＝∠BCO＝60°，可得△BOC是等边三角形，即可证明；
（2）由直角三角形两锐角互余、等量代换求得∠DOE；然后由角平分线表示∠BOE，最后利用角的和可得结论；
（3）由角平分线的性质知∠FOM＝∠RON的度数，从而表示∠COR的度数，根据角平分线得∠OCR的度数，最后利用三角形的内角和定理可得结论．
（1）∵△AOB是直角三角形，
∴∠A＋∠B＝90°，∠AOC＋∠BOC＝90°，
∵∠A＝∠AOC＝30°，
∴∠B＝∠BOC＝60°
∴△BOC是等边三角形，
∴BC＝BO
故答案为：＝；
（2）∵
，
∴
∵
∴
∴
（3）的度数不变，．理由如下：
设
，则∠
又∵
平分
∴
∴
∵
∵
平分
∴
∴
．
∴的度数不变，．
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