题目内容
【题目】如图，等腰△ABC中，AB＝AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB＝AE，AF平分∠CAE交DE于F．
（1）如图1，连CF，求证：∠ABE＝∠ACF；
（2）如图2，当∠ABC＝60°时，求证：AF+EF＝FB；
（3）如图3，当∠ABC＝45°时，若BD平分∠ABC，求证：BD＝2EF．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析．
【解析】
（1）先根据SAS证得△ACF≌△AEF，推出∠E＝∠ACF，再根据等腰三角形性质推出∠E＝∠ABF，即可得出结论；
（2）在FB上截取BM＝CF，连接AM，证△ABM≌△ACF，推出EF＝FC＝BM，AF＝AM，再证得△AMF是等边三角形，于是可得MF＝AF，即可证得结论；
（3）连接CF，延长BA、CF交N，根据ASA证△BFC≌△BFN，推出CN＝2CF＝2EF，再根据ASA证明△BAD≌△CAN，推出BD＝CN，即可得出答案．
证明：（1）∵AF平分∠CAE，∴∠EAF＝∠CAF，
∵AB＝AC，AB＝AE，∴AE＝AC，
在△ACF和△AEF中，
，
∴△ACF≌△AEF（SAS），
∴∠E＝∠ACF，
∵AB＝AE，∴∠E＝∠ABE，
∴∠ABE＝∠ACF．
（2）∵△ACF≌△AEF，∴EF＝CF，∠E＝∠ACF＝∠ABM，
在FB上截取BM＝CF，连接AM，如图2，
在△ABM和△ACF中，
，
∴△ABM≌△ACF（SAS），
∴AM＝AF，∠BAM＝∠CAF，
∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠MAF＝∠MAC+∠CAF＝∠MAC+∠BAM＝∠BAC＝60°，
∵AM＝AF，∴△AMF为等边三角形，
∴AF＝AM＝MF，
∴AF+EF＝BM+MF＝FB，
即AF+EF＝FB．
（3）连接CF，延长BA、CF交于点N，如图3，
∵∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，AB＝AC，
∴∠ABF＝∠CBF＝22.5°，∠ACB＝45°，∠BAC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
由（1）的结论得：∠ACF＝∠ABF＝22.5°，
∴∠BFC＝180°﹣22.5°﹣45°﹣22.5°＝90°，
∴∠BFN＝∠BFC＝90°，
在△BFN和△BFC中，
，
∴△BFN≌△BFC（ASA），∴CF＝FN，
由（2）题得：CF＝EF，
则CN＝2CF＝2EF，
∵∠BAC＝90°，∴∠NAC＝∠BAD＝90°，
在△BAD和△CAN中，
，
∴△BAD≌△CAN（ASA），
∴BD＝CN＝2CF＝2EF．
