Question

18．如图：直线MN∥BC，直线MN经过△ABC的重心，且直线MN交AB、AC于点D、E，那么△ADE与△ABC的相似比的值是$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 设△ABC的重心为点O，AO的延长线交BC于H，如图，根据三角形重心性质得到AO：OH=2：1，再证明△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性质求解．

解答 解：设△ABC的重心为点O，AO的延长线交BC于H，如图，
∵点O为△ABC的重心，
∴AO：OH=2：1，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AO}{AH}$=$\frac{2}{2+1}$=$\frac{2}{3}$．
即△ADE与△ABC的相似比的值为$\frac{2}{3}$．
故答案为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．也考查了三角形重心的性质（重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1）．