Question

8．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=12cm，AD=13cm，BC=22cm，AB是⊙O的直径，动点P从点A出发向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C出发向点B以2cm/s的速度运动．点P、Q同时出发，其中一个点停止时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒．
（1）求当t为何值时，PQ与⊙O相切？
（2）直接写出PQ与⊙O相交时t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当PQ是圆的切线时，利用切线的性质把AP，PH，CQ，BQ分别用t表示，然后利用勾股定理就可以求出t．
（2）根据（1）解得的结果，t=2或t=9，直线PQ从开始运动时与圆相交，一直到当t=2时，直线与圆相切；再运动时，直线与圆相离，再到t=9时，直线与圆相切，然后相交，直到停止．

解答 解：（1））设PQ与⊙O相切于点H过点P作PE⊥BC，垂足为E；
∵直角梯形ABCD，AD∥BC，
∴PE=AB，
∵AP=BE=t，CQ=2t，
∴BQ=BC-CQ=22-2t，EQ=BQ-BE=22-2t-t=22-3t；
∵AB为⊙O的直径，∠ABC=∠DAB=90°，
∴AD、BC为⊙O的切线，
∴AP=PH，HQ=BQ，
∴PQ=PH+HQ=AP+BQ=t+22-2t=22-t；
在Rt△PEQ中，PE²+EQ²=PQ²，
∴12²+（22-3t）²=（22-t）²，
即：8t²-88t+144=0，
∴t²-11t+18=0，
（t-2）（t-9）=0，
∴t₁=2，t₂=9；
∵P在AD边运动的时间为$\frac{AD}{1}$=$\frac{13}{1}$=13秒，Q在CB边运动的时间为$\frac{BC}{2}$=$\frac{22}{2}$=11，
∴当t=2或9秒时，PQ与⊙O相切．
（2）由（1）可知PQ与⊙O相交时t的取值范围为0≤t＜2  或  9＜t≤11．

点评 此题考查切线的判定，直角梯形的性质，正确求得直线PQ与圆相切时t的值是关键．