Question

2．如图，在正方形ABCD中，AB=2，点P为边AB上一点．将△ADP旋转到△CDQ的位置上．连接AC，PQ交于点M，则$\sqrt{2}$AM-AP的值为2．

Answer 1

分析 先连接DM，过M作ME⊥AC交AD的延长线于E，过P作PF⊥AB交AC于F，根据△AEM和△APF都是等腰直角三角形，即可得到AP=FP，AM=EM，∠E=∠PAM=45°，AE=$\sqrt{2}$AM，根据旋转可得，AP=CQ，∠DCQ=∠DAP=90°，进而判定△FPM≌△CQM，得出M是PQ的中点，进而得到EM⊥AC，再判定△AMP≌△EMD，可得AP=DE，最后根据AE-DE=AD=2，即可得出$\sqrt{2}$AM-AP=2，

解答 解：如图所示，连接DM，过M作ME⊥AC交AD的延长线于E，过P作PF⊥AB交AC于F，则PF∥BC，
∵∠PAF=∠DAM=45°，
∴△AEM和△APF都是等腰直角三角形，
∴AP=FP，AM=EM，∠E=∠PAM=45°，AE=$\sqrt{2}$AM，
由旋转可得，AP=CQ，∠DCQ=∠DAP=90°，
∴PF=QC，且B，C，Q在同一直线上，
∴CQ∥PF，
∴∠FPM=∠CQM，
在△FPM和△CQM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FPM=∠CQM}\\{∠PMF=∠QMC}\\{PF=QC}\end{array}\right.$，
∴△FPM≌△CQM（AAS），
∴PM=QM，即M是PQ的中点，
由旋转可得，DP=DQ，
∴DM⊥PQ，
又∵EM⊥AC，
∴∠AMP=∠EMD，
在△AMP和△EMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMP=∠EMD}\\{AM=EM}\\{∠PAM=∠E}\end{array}\right.$，
∴△AMP≌△EMD（ASA），
∴AP=DE，
∵AE-DE=AD=2，
∴$\sqrt{2}$AM-AP=2，
故答案为：2．

点评 本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等腰直角三角形以及全等三角形，依据全等三角形的对应边相等进行求解．