Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）满足f（-1）=0且x≤f(x)≤

x2+1

2

对一切实数x恒成立，求f（x）的解析式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：计算题,代数综合题

分析：在给出的不等式中，首先令x=

x2+1

2

，根据这个条件可求出一个f（x）的函数值，联立f（-1）=0，即可求出a+c与b的关系式；由给出的不等式，还可以得到的条件是：对于一切实数x，f（x）-x≥0恒成立，即：ax²+（b-1）x+c≥0对于一切实数x恒成立，观察这个不等式，只有当a＞0，且△=（b-1）²-4ac≤0时，才满足上述条件，然后结合均值不等式求出a、c的值；由此得解．

解答：解：当x=

x2+1

2

，即x=1时，1≤f（1）≤1，
则f（1）=1；
联立f（-1）=0，有：

a+b+c=1 a-b+c=0

，
解得：a+c=b=

1

2

；
∵对于一切实数x，f（x）-x≥0恒成立，
∴ax²+（b-1）x+c≥0（a≠0），对于一切实数x恒成立，
∴

a＞0 △=(b-1)2-4ac≤0

，即

a＞0 ac≥ 1 16

∵a+c=

1

2

，且a+c≥2

ac

=2×

1 16

=

1

2

∴当且只有当a=c=

1

4

时，不等式成立；
∴f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

．

点评：此题考查的是二次函数解析式的求法，题中还涉及了二次函数的性质、二次函数与不等式的联系以及均值不等式的应用，难度较大；解题的关键是从不等式中找出f（x）的一个定值以及抓住不等式恒成立的条件．