Question

已知直线y=-2x+b（b≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线的解析式为y=x²-（b+10）x+c．
（1）若b=-5，c=4，求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线y=-2x+b上，试确定这条抛物线的解析式；
（3）过点B作直线BC⊥AB，交x轴于点C，若抛物线的对称轴恰好经过点C，求直线y=-2x+b的解析式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数综合题

分析：（1）把b、c的值代入得到抛物线解析式，再令y=0，解关于x的一元二次方程即可得解；
（2）根据直线解析式求出点A、B的坐标，再根据抛物线过点B求出b=c，然后用b表示出抛物线顶点坐标，并代入直线解析式解方程求出b的值，从而得到抛物线解析式；
（3）先判定b＜0，然后作出图形，根据射影定理求出OC，再根据抛物线的对称轴恰好过点C列式求出b的值，即可得解．

解答：解：（1）当b=-5，c=4时，抛物线的解析式为y=x²-5x+4，
当y=0时，x²-5x+4=0，
解得x₁=1，x₂=4，
所以，抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）和（4，0）；

（2）依题意得，A（

b

2

，0），B（0，b），
∵抛物线y=x²-（b+10）x+c过点B，
∴b=c，
∴抛物线为y=x²-（b+10）x+b，
又∵抛物线y=x²-（b+10）x+b的顶点（

b+10

2

，

4b-(b+10)2

4

）在直线y=-2x+b上，
∴

4b-(b+10)2

4

=-2•

b+10

2

+b，
整理得，b²+16b+60=0，
解得b₁=-10，b₂=-6，
所以，抛物线解析式为y=x²-10或y=x²-4x-6；

（3）如图所示，

若b＞0，则点C在x轴负半轴，抛物线对称轴直线x=-

-(b+10)

2

=

b+10

2

＜0，
解得b＜-10，无公共解，
若b＜0，则点C在x轴正半轴，抛物线对称轴直线x=-

-(b+10)

2

=

b+10

2

＞0，
解得b＞-10，有公共解；
所以，b＜0，
则OA=-

b

2

，OB=-b，
又因为BC⊥AB，OB⊥AC，由射影定理得，
OB²=OA•OC，
即（-b）²=-

b

2

•OC，
解得OC=-2b，
∵抛物线的对称轴恰好经过点C，
∴-2b=

b+10

2

，
解得b=-2，
所以，直线解析式为y=-2x-2．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与x轴的交点坐标问题，抛物线的顶点坐标与对称轴解析式，求解较为复杂，但难度不大，（3）要注意先判断出b是负数．