Question

5．已知△ABC的两边AB，AC的长关于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为4，若△ABC是等腰三角形，则k=3或4，△ABC的周长为14或16．

Answer 1

分析 根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论：①AB=AC，②AB=BC，③BC=AC；后两种情况相同，由根与系数的关系得出k的值即可．

解答 解：∵△ABC是等腰三角形，
∴当AB=AC时，△=b²-4ac=0，
∴（2k+3）²-4（k²+3k+2）=0，
解得k不存在；
当AB=BC时，即AB=5，
∴5+AC=2k+3，5AC=k²+3k+2，
解得k=3或4，
∴AC=4或6；
当BC=AC时，即AC=5，同理求得AB=4或6；
∴△ABC的周长为14或16．
故答案为：3或4，14或16．

点评 本题考查了一元二次方程的解法，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，根的判别式，根与系数的关系，利用分类讨论是解题的关键．