Question

13．如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点F，且AB=DE．
（1）求证：BD=BC；
（2）若BD=6，则△CDE的面积为9．

Answer 1

分析 （1）欲证明BD=BC，只要证明△ABC≌△EDB即可．
（2）由E是BC中点，BD=6，BD=BC，推出CE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$BD=3，再根据△CDE的面积=$\frac{1}{2}$CE•BD，代入数值计算即可．

解答 （1）证明：∵DE⊥AB，
∴∠BFE=90°，
∴∠ABC+∠DEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠A=90°，
∴∠A=∠DEB．
在△ABC和△EDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠EBD}\\{∠A=∠DEB}\\{AB=ED}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△EDB，
∴BD=BC；

（2）解：∵E是BC中点，BD=6，BD=BC，
∴CE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$BD=3，
∴△CDE的面积=$\frac{1}{2}$CE•BD=$\frac{1}{2}$×3×6=9．
故答案为9．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．