Question

【题目】如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=（<600）,D是BC边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F，连接DE、BE、DF

（1）求证：BE=CD

（2）若AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明。

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

试题分析：根据旋转可得AE=AD,AB=AC,∠EAD=∠BAC，从而得到∠BAE=∠CAD，从而得出△ACD和△ABE全等，从而得出答案；根据题意得出△ABD和△ABE全等，从而得出∠EBF=∠DBF，根据EF∥BC得到∠DBF=∠EFB，从而得到∠EBF=∠EFB，则EB=EF，利用同理得出BD=FD，从而得到菱形．

试题解析：（1）∵△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，∴AE=AD,AB=AC,∠EAD=∠BAC， ∴∠BAE=∠CAD

在△ACD和△ABE中 ∴△ACD≌△ABE（SAS） ∴BE=CD；

（2）∵AD⊥BC，∴BD=CD,∠BAD=∠CAD， 由（1）可知，△ACD≌△ABE，∴BE=BD=CD，∠BAE=∠BAD

在△ABD和△ABE中， ∴△ABD≌△ABE（SAS）， ∴∠EBF=∠DBF，

∵EF∥BC， ∴∠DBF=∠EFB， ∴∠EBF=∠EFB， ∴EB=EF，同理BD=FD，∴BD=BE=EF=FD，

∴四边形BDFE为菱形