Question

13．如图，E、F分别是矩形ABCD的边AB、AD上的点，∠FEC=∠FCE=45°
（1）求证：AF=CD；
（2）若AD=2，△EFC的面积为$\frac{3}{2}$，求线段BE的长．

Answer 1

分析 （1）由AAS证明△AEF≌△DFC，即可得出结论；
（2）由△EFC的面积求出EF=CF，由勾股定理求出EC，再由勾股定理求出BE即可．

解答 （1）证明：∵∠FEC=∠FCE=45°，
∴EF=CF，∠CFE=90°，
∴∠AFE+∠DFC=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°．
∴∠AEF+∠AFE=90°．
∴∠AEF=∠DFC．
∴△AEF≌△DFC．
∴AF=CD．
（2）解；∵在Rt△EFC中，${S_{△EFC}}=\frac{1}{2}EF•FC=\frac{1}{2}E{F^2}$，
又∵△EFC的面积为$\frac{3}{2}$，
∴$EF=CF=\sqrt{3}$．
∴$EC=\sqrt{E{F^2}+C{F^2}}=\sqrt{6}$．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD=BC=2．
∴在Rt△BCE中，$BE=\sqrt{C{E^2}-B{C^2}}=\sqrt{6-4}=\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．