Question

11．如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，
CE=BD，求证：
（1）△ABD≌△ACE；
（2）△ADE为等边三角形．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得出AB=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，求出∠ACE=∠B，根据SAS推出全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得出AD=AE，∠CAE=∠BAD，求出∠DAE=∠BAC=60°，根据等边三角形的性质得出即可．

解答 证明：（1）∵△ABC等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，
∴∠ACD=120°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACD=60°，
∴∠ACE=∠B，
在△ABD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠B=∠ACE}\\{BD=CE}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACE（SAS）；

（2）∵△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，∠CAE=∠BAD，
∴∠DAE=∠BAC=60°，
∴△ADE为等边三角形．

点评 本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，能推出△ABD≌△ACE是解此题的关键．