Question

阅读下面的材料：
小明遇到一个问题：如图（1），在?ABCD中，点E是边BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G．如果

AF

EF

=3，求

CD

CG

的值．
他的做法是：过点E作EH∥AB交BG于点H，则可以得到△BAF∽△HEF．请你回答：
（1）AB和EH的数量关系为

 

，CG和EH的数量关系为

 

，

CD

CG

的值为

 

．
（2）如图（2），在原题的其他条件不变的情况下，如果

AF

EF

=a（a＞0），那么

CD

CG

的值为

 

（用含a的代数式表示）．
（3）请你参考小明的方法继续探究：如图（3），在四边形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F．如果

AB

CD

=m，

BC

BE

=n（m＞0，n＞0），那么

AF

EF

的值为

 

（用含m，n的代数式表示）．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）本问体现“特殊”的情形，

AE

EF

=3是一个确定的数值．如答图1，过E点作平行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段均统一用EH来表示，最后求得比值；
（2）本问体现“一般”的情形，

AE

EF

=a不再是一个确定的数值，但（1）问中的解题方法依然适用，如答图2所示．
（3）本问体现“类比”与“转化”的情形，将（1）（2）问中的解题方法推广转化到梯形中，如答图3所示．

解答：解：（1）依题意，过点E作EH∥AB交BG于点H，如右图1所示．
则有△ABF∽△EHF，
∴

AB

EH

=

AF

EF

=3，∴AB=3EH．
∵?ABCD，EH∥AB，∴EH∥CD，
又∵E为BC中点，∴EH为△BCG的中位线，∴CG=2EH．

CD

CG

=

AB

CG

=

3EH

2EH

=

3

2

．
故答案为：AB=3EH；CG=2EH；

3

2

．

（2）如右图2所示，作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB．
∴

AB

EH

=

AF

EF

=a，∴AB=aEH．
∵AB=CD，∴CD=aEH．
∵EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG．
∴

CG

EH

=

BC

BE

=2，∴CG=2EH．
∴

CD

CG

=

aEH

2EH

=

a

2

．
故答案为：

a

2

．

（3）如右图3所示，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有EH∥AB∥CD．
∵EH∥CD，∴△BCD∽△BEH，
∴

CD

EH

=

BC

BE

=n，∴CD=nEH．
又

AB

CD

=m，∴AB=mCD=mnEH．
∵EH∥AB，∴△ABF∽△EHF，
∴

AF

EF

=

AB

EH

=

mnEH

EH

=mn，
故答案为：mn．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，由平行四边形中的一个特殊的例子出发（第1问），推广到平行四边形中的一般情形（第2问），最后再通过类比、转化到梯形中去（第3问）．体现了初中数学的类比、转化、从特殊到一般等思想方法，有利于学生触类旁通、举一反三．