Question

8．如图，△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠PDE=90°．
（1）若将△DEP的顶点P放在BC上（如图1），PD、PE分别与AC、AB相交于点F、G．求证：△PBG∽△FCP；
（2）若使△DEP的顶点P与顶点A重合（如图2），PD、PE与BC相交于点F、G．试问△PBG与△FCP还相似吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）如图1，先根据等腰直角三角形的性质得∠B=∠C=∠DPE=45°，再利用平角定义得到∠BPG+∠CPF=135°，利用三角形内角和定理得到∠BPG+∠BGP=135°，根据等量代换得∠BGP=∠CPF，加上∠B=∠C，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论；
（2）如图2，由于∠B=∠C=∠DPE=45°，利用三角形外角性质得∠BGP=∠C+∠CPG=45°+∠CAG，而∠CPF=45°+∠CAG，所以∠AGP=∠CPF，加上∠B=∠C，于是可判断△PBG∽△FCP．

解答 （1）证明：如图1，
∵△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠DPE=45°，
∴∠BPG+∠CPF=135°，
在△BPG中，∵∠B=45°，
∴∠BPG+∠BGP=135°，
∴∠BGP=∠CPF，
∵∠B=∠C，
∴△PBG∽△FCP；
（2）解：△PBG与△FCP相似．理由如下：
如图2，∵△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠DPE=45°，
∵∠BGP=∠C+∠CPG=45°+∠CAG，
∠CPF=∠FPG+∠CAG=45°+∠CAG，
∴∠AGP=∠CPF，
∵∠B=∠C，
∴△PBG∽△FCP．

点评 本题考查了相似三角形的性质：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰直角三角形的性质．