Question

如图，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，OE∥BD，交BC于点F，交AE于点E.

（1）求证：∠E＝∠BCO；

（2）若⊙O的半径为3，cosA＝，求EF的长．

 

Answer 1

（1）证明：连接BO．

∵OE∥BD，

∴∠E＝∠ABD．

∵AE与⊙O相切于点B，∴OB⊥AE．

∴∠ABD＋∠OBD＝90°．

∵CD是⊙O的直径，

∴∠CBO＋∠OBD＝90°．

∴∠ABD＝∠CBO．

∵OB＝OC，

∴∠CBO＝∠BCO．

∴∠E＝∠BCO．                                                                                                 4分

（2）解：在Rt△ABO中，cosA＝＝，可设AB＝4k，AO＝5k，

BO＝＝3k．

∵⊙O的半径为3，∴3k＝3，∴k＝1．

∴AB＝4，AO＝5．

∴AD＝AO－OD＝5－3＝2．

∵BD∥EO，

∴＝＝，∴AE＝10．

∴EB＝AE－AB＝6．

在Rt△EBO中，EO＝＝3．

∵OE∥BD，

∴∠EFB＝∠DBF＝90°．

∵∠FEB＝∠BEO，∠EFB＝∠EBO，

∴△EFB∽△EBO．

∴＝，即＝．

∴EF＝．                                                                                                  9分