Question

（1）已知：如图，E、F、G、H分别是菱形ABCD的各边上与顶点均不重合的点，且AE＝CF＝CG＝AH．

求证：四边形EFGH是矩形．

 

（2）已知： E、F、G、H分别是菱形ABCD的边AB、BC、CD、AD上与顶点均不重合的点，且四边形EFGH是矩形．AE与AH相等吗？如果相等，请说明理由；如果不相等，请举反例进行说明．

 

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴  AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＋∠B＝180°．

∵ AE＝CF＝CG＝AH，

∴ BE＝BF＝DG＝DH．

∴ △AEH≌△CFG，△BEF≌△DHG．

∴ EH＝FG，EF＝HG．

∴四边形EFGH是平行四边形．

又∵∠AEH＝∠AHE＝（180°－∠A）＝90°－∠A，

∠BEF＝∠BFE＝（180°－∠B）＝90°－∠B，

∴∠HEF＝180°－∠AEH－∠BEF

＝180°－（90°－∠A）－（90°－∠B）

＝（∠A＋∠B）

    ＝90°．

∴四边形EFGH是矩形．

（2）如图，m、n是经过菱形对角线交点且与对边垂直的2条直线，可证四边形EFGH是矩形，显然，AE与AH不相等．