Question

20．已知一次函数y₁=x+m的图象与反比例函数y₂=$\frac{6}{x}$的图象交于A、B两点，已知当x＞1时，y₁＞y₂；当0＜x＜1时，y₁＜y₂．
（1）求一次函数的函数表达式；
（2）已知反比例函数在第一象限的图象上有一点C到x轴的距离为2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）首先根据x＞1时，y₁＞y₂，0＜x＜1时，y₁＜y₂确定点A的横坐标，然后代入反比例函数解析式求出点A的纵坐标，从而得到点A的坐标，再利用待定系数法求直线解析式解答；
（2）根据点C到x轴的距离判断出点C的纵坐标，代入反比例函数解析式求出横坐标，从而得到点C的坐标，过点C作CD∥x轴交直线AB于D，求出点D的坐标，然后得到CD的长度，再联立一次函数与双曲线解析式求出点B的坐标，然后△ABC的面积=△ACD的面积+△BCD的面积，列式进行计算即可得解．

解答 解：（1）∵当x＞1时，y₁＞y₂；当0＜x＜1时，y₁＜y₂，
∴点A的横坐标为1，
代入反比例函数解析式，$\frac{6}{1}$=y，
解得y=6，
∴点A的坐标为（1，6），
又∵点A在一次函数图象上，
∴1+m=6，
解得m=5，
∴一次函数的解析式为y₁=x+5；

（2）∵第一象限内点C到x轴的距离为2，
∴点C的纵坐标为2，
∴2=$\frac{6}{x}$，解得x=3，
∴点C的坐标为（3，2），
过点C作CD∥x轴交直线AB于D，
则点D的纵坐标为2，
∴x+5=2，
解得x=-3，
∴点D的坐标为（-3，2），
∴CD=3-（-3）=3+3=6，
点A到CD的距离为6-2=4，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+5}\\{y=\frac{6}{x}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=6}\end{array}\right.$（舍去），$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-6}\\{{y}_{2}=-1}\end{array}\right.$，
∴点B的坐标为（-6，-1），
∴点B到CD的距离为2-（-1）=2+1=3，
S_△ABC=S_△ACD+S_△BCD=$\frac{1}{2}$×6×4+$\frac{1}{2}$×6×3=12+9=21．

点评 本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，根据已知条件先判断出点A的横坐标是解题的关键．