Question

10．已知四边形ABCD，AD∥BC，∠D=90°，∠BAD=120°，AC平分∠BAD，AB=2AD．
（1）如图1，求证：△ABC是等边三角形；
（2）如图2，点E在BA的延长线上，在BC取一点F，连接EC，EF，且EC=EF，求证：BF=AE．
（3）连接AF，取CE的中点M，作MH⊥AF，探究MH⊥AF，探究：FH、AH之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）只要证明∠B=∠BCA=∠BAC=60°即可．
（2）如图2中，作FM∥AC交AB于M．首先证明△BFM是等边三角形，再证明△EMF≌△CAE即可解决问题．
（3）如图3中，连接AM、FM，在AB上截取AN=BF，连接CN交AF于K，在AF上截取AG=AM，连接GM．只要证明△AMF是含有60°的直角三角形即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，

∵∠BAD=120°，AC平分∠BAD，
∴∠CAB=∠CAD=60°，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA=60°，
∴∠B=∠BCA=∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形．

（2）证明：如图2中，作FM∥AC交AB于M．

∵MF∥AC，
∴∠BMF=∠BAC=60°，∠BFM=∠BCA=60°，
∴∠B=∠BMF=∠BFM=60°，
∴△BMF是等边三角形，
∴FM=BF，∠EMF=120°=∠EAC，
∵EF=EC，
∴∠EFC=∠ECF，
∴∠EFM=180°-60°-∠EFC=120°-∠EFC，∠AEC=180°-60°-∠ECB=120°-∠ECF，
∴∠MFE=∠AEC，
∴△EMF≌△CAE，
∴AE=FM=BF，
∴AE=BF．

（3）结论：FH=3AH．
理由：如图3中，连接AM、FM，在AB上截取AN=BF，连接CN交AF于K，在AF上截取AG=AM，连接GM．

∵AN=BF，AC=AB，∠ABF=∠CAN，
∴△ABF≌△CAN，
∴∠BAF=∠ACN，AF=NC，
∴∠AKN=∠CAK+∠ACN=∠CAK+∠BAF=60°，
∵AE=BF=AN，EM=MC，
∴AM∥NC，AM=$\frac{1}{2}$NC=$\frac{1}{2}$AF，
∴∠FAM=∠AKN=60°，∵AG=AM，
∴△AGM是等边三角形，
∴AG=GM=AM=$\frac{1}{2}$AF，∠AGM=∠AMG=60°，
∴GM=GF，
∴∠GFM=∠GMF=30°，
∴∠AMF=∠AMG+∠GMF=90°，
∵MH⊥AF，
∴∠AHM=90°，∠AMH=30°，
∴AF=2AM，AM=2AH，
∴AF=4AH，
∴FH=3AH．

点评 本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，善于用特殊图形思考问题，找到问题的突破口，善于中考压轴题．