Question

16．如图，已知第二象限的点A在反比例函数y=-$\frac{\sqrt{3}}{x}$上，过点A作AB⊥AO交x轴于点B，∠AOB=60°．将△AOB绕点O逆时针旋转120°，点B的对应点B′恰好落在反比例函数y=$\frac{k}{x}$上，则k的值为（　　）

• A． -2$\sqrt{3}$
• B． -$\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． -4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 作AC⊥x轴于C，B′D⊥x轴于点D，根据反比例函数y=$\frac{k}{x}$系数k的几何意义求得S_△AOC=$\frac{1}{2}$×|-$\sqrt{3}$|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，进而根据△AOC∽△BOA和直角三角函数求得S_△AOB=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，然后证得△B′OD≌△BOA，得出S_△B′OD=S_△AOB=2$\sqrt{3}$，最后根据根据反比例函数y=$\frac{k}{x}$系数k的几何意义得出k=-4$\sqrt{3}$．

解答 解：作AC⊥x轴于C，B′D⊥x轴于点D，
∵点A在反比例函数y=-$\frac{\sqrt{3}}{x}$上，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$×|-$\sqrt{3}$|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵AB⊥AO，∠AOB=60°，
∴cos∠AOB=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∵∠ACO=∠BAO=90°，∠AOC=∠BOA，
∴△AOC∽△BOA，
∴$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△AOC}}$=（$\frac{OB}{OA}$）²=4，
∴S_△AOB=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∵将△AOB绕点O逆时针旋转120°，∠AOB=60°，
∴A、O、B′在一条直线上，
∴∠B′OD=∠AOB，OB=OB′，
在△B′OD和△BOA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B′OD=∠AOB}\\{∠ODB′=∠OAB=90°}\\{OB′=OB}\end{array}\right.$，
∴△B′OD≌△BOA（AAS），
∴S_△B′OD=S_△AOB=2$\sqrt{3}$，
∵S_△B′OD=$\frac{1}{2}$|k|，图象在第四象限，
∴k=-4$\sqrt{3}$．
故选D．

点评 本题考查了反比例函数y=$\frac{k}{x}$系数k的几何意义，坐标与图形的变化-旋转，解直角三角形，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．