Question

如图所示，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．

(1)求证：EO＝FO；

(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？证明你的结论．

Answer 1

答案：略
解析：

证明： (1)∵MN∥BC，∴∠1＝∠3 又∵CE为∠ACB的角平分线 ∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3 ∴OE＝OC，同理可证OF＝OC，∴OE＝OF (2)当O运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形 因为AO＝OC，OE＝OF 所以四边形AECF是平行四边形 又∵∠1＝∠2，∠5＝∠DCF ∴∠2＋∠5＝×180°＝90° 即∠ECF＝90°，故四边形AECF是矩形．

提示：

（1）先证∠OCE＝∠OEC就有EO＝CO，同理有FO＝CO，即有EO＝FO． （2）当O运动到AC的中点时，四边形AECF的对角线互相平分，∠ECF＝90°，则四边形AECF为矩形．