Question

4．如图，在△ABC中，∠C=45°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D；AC的垂直平分线交AC于点G，交BC与点F，连接AD、AF，若AC=3$\sqrt{2}$，BC=9，则DF等于（　　）

• A． $\frac{9}{4}$
• B． $\frac{7}{2}$
• C． 4
• D． $3\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据线段垂直平分线性质求出BD=AD，AF=CF，推出∠C=∠CAF=45°，求出∠AFC=∠AFD=90°，解直角三角形求出AF和CF，根据勾股定理求出DF即可．

解答 解：∵AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D；AC的垂直平分线交AC于点G，交BC与点F，AC=3$\sqrt{2}$，
∴BD=AD，AF=CF，
∵∠C=45°
∴∠C=∠CAF=45°，
∴∠AFC=∠AFD=90°，
在Rt△AFC中，AF=CF=3$\sqrt{2}$×sin30°=3，
∵BC=9，
∴BF=9-3=6，
设DF=x，则BD=AD=6-x，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：（6-x）²=x²+3²，
解得：x=$\frac{9}{4}$，
即DF=$\frac{9}{4}$，
故选A．

点评 本题考查了勾股定理，线段垂直平分线性质的应用，能得出关于x的方程是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．