Question

19．一个三角形的三边长恰为三个连续的正整数，并且最大角等于最小角的两倍，则这个三角形的最长边的长度为6．

Answer 1

分析 根据题意可以分别设出三角形三边和三个角，然后根据正弦定理得到最小角的余弦值，再根据余弦定理得到余弦与边的关系，从而可以求得一条边的长度，进而求得最长边的长度．

解答 解：设这三个连续的整数为：a-1，a，a+1，三角形的三个角为，α，π-3α，2α，
∴$\frac{a-1}{sinα}=\frac{a+1}{sin2α}$，
即$\frac{a-1}{sinα}=\frac{a+1}{2sinαcosα}$，
得cosα=$\frac{a+1}{2（a-1）}$，
∵cosα=$\frac{{a}^{2}+（a+1）^{2}-（a-1）^{2}}{2a（a+1）}$，
∴$\frac{{a}^{2}+（a+1）^{2}-（a-1）^{2}}{2a（a+1）}$=$\frac{a+1}{2（a-1）}$，
解得，a=5或a=0（舍去），
∴a+1=6，
故答案为：6．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理，解答此类题目的关键是明确正弦定理和余弦定理的内容，利用正弦定理和余弦定理解答．