Question

16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是∠ABC的平分线，点O在AB上，⊙O经过B，D两点，交BC于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BC=6，tan∠A=$\frac{3}{4}$，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）连接DO，由等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠ODB=∠CBD，证出DO∥BC，由平行线的性质得出∠ADO=90°，即可得出结论；
（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，根据三角函数的定义得到AC=8，根据相似三角形的性质得到R=$\frac{15}{4}$，在Rt△ABC中，根据三角函数的定义即可得到结论．

解答 （1）证明：如图，连接OD，
∵⊙O经过B，D两点，
∴OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠OBD=∠CBD，
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD∥BC，
∵∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴OD⊥AC．又OD是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵BC=6，tan∠BAC=$\frac{BC}{AC}=\frac{3}{4}$，
∴AC=8，
∵OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴$\frac{OD}{BC}=\frac{OA}{AB}$，即$\frac{R}{6}=\frac{10-R}{10}$，
解得：R=$\frac{15}{4}$，
∴OD=$\frac{15}{4}$，
在Rt△ABC中，OD⊥AC，
∴tan∠A=$\frac{OD}{AD}=\frac{3}{4}$，
∴AD=5，
∴CD=3．

点评 本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要证明相似三角形求出半径才能得出结果．