Question

8．以?ABCD的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图，连接EF、GH、IJ、KL．若?ABCD的面积为5，则图中阴影部分四个三角形的面积和为（　　）

• A． 5
• B． 10
• C． 15
• D． 20

Answer 1

分析 过D作DN⊥AB于N，过E作EM⊥FA交FA延长线于M，连接AC，BD，求出∠EAM=∠BAD，根据锐角三角形函数定义求出EM=DN，求出△AEF和△ABD面积相等，同理求出S_△BHG=S_△ABC，S_△CIJ=S_△CBD，S_△DLK=S_△DAC，代入S=S_△AEF+S_△BGH+S_△CIJ+S_△DLK得出S=2S_{平行四边形ABCD}，代入求出即可．

解答 解：过D作DN⊥AB于N，过E作EM⊥FA交FA延长线于M，连接AC，BD，
∵四边形ABGF和四边形ADLE是正方形，
∴AE=AD，AF=AB，∠FAB=∠EAD=90°，
∴∠EAF+∠BAD=360°-90°-90°=180°，
∵∠EAF+∠EAM=180°，
∴∠EAM=∠DAN，
∴sin∠EAM=$\frac{EM}{AE}$，sin∠DAN=$\frac{DN}{AD}$，
∵AE=AD，
∴EM=DN（也可以证明△EAM≌△DAN得到），
∵S_△AEF=$\frac{1}{2}$AF×EM，S_△ADB=$\frac{1}{2}$AB×DN，
∴S_△AEF=S_△ABD，
同理S_△BHG=S_△ABC，S_△CIJ=S_△CBD，S_△DLK=S_△DAC，
∴阴影部分的面积S=S_△AEF+S_△BGH+S_△CIJ+S_△DLK=2S_{平行四边形ABCD}=2×5=10．
故选B．

点评 本题考查了平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，三角形的面积等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目比较好，但有一定的难度．