Question

19．如图，△ABC是等腰直角三角形，D是斜边AB上一点，AC=AD，直角∠EDF的两边分别与AC、CB的延长线交于点E和点F，则$\frac{DF}{DE}$的值是$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 连接CD、EF，由题意可知，C、D、E、F四点共圆，所以由圆周角定理可知∠DCG=∠EDF，所以tan∠DCG=tan∠EDF=$\frac{DF}{DE}$，过点D作DG⊥CF于点G，然后利用勾股定理即可求出答案．

解答 解：过点D作DG⊥CF于点G，连接CD和EF，
∵∠ECF=∠EDF=90°，
∴C、D、E、F四点共圆，
∴∠DCG=∠DEF，
设AC=1，
∴BC=AC=1，
∴由勾股定理可求得：AB=$\sqrt{2}$，
∵AD=AC=1，
∴BD=AB-AD=$\sqrt{2}$-1，
∴sin∠ABC=$\frac{DG}{BD}$，
∴DG=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴BG=DG=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴CG=BC-BG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴tan∠DCG=$\frac{DG}{CG}$=$\sqrt{2}-1$，
∴tan∠DCG=tan∠DEF=$\frac{DF}{DE}$=$\sqrt{2}$-1
故答案为$\sqrt{2}$-1

点评 本题考查锐角三角函数的应用，涉及四点共圆判定，相似三角形判定，圆周角定理等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用知识解答．