Question

【题目】如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。

（1）①求证图1中△ADC≌△CEB；②证明DE=AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，请说明DE=AD－BE的理由；

（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE又具有怎样的等量关系?请直接写出这个等量关系（不必说明理由）。

Answer 1

【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）DE =AD－BE，详见解析；（3）DE=BE

【解析】

（1） 平角减去直角之后剩下的两个锐角互余是解题关键.证明△ADC≌△CEB即可；

（2） 直线分割直角所得的两个锐角互余，证明△ADC≌△CEB；

（3） 此小题和（2）解法一致.

（1）①如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∠ADC=90°，∠BEC=90°，；因为=90°，所以，又因为AC=BC，所以△ADC≌△CEB，

②由①的结论知△ADC≌△CEB，所以CD=BE，AD=CE，所以

DE=CE+CD=AD+BE

（2）∵AD⊥MN于D，BE⊥MN于E

∴∠ADC=∠BEC=∠ACB=90°，

∴∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°

∴∠CAD=∠BCE

在△ADC和△CEB中

∴△ADC≌△CEB(AAS)

∴CE=AD，CD=BE

∴DE=CE－CD=AD－BE

（3）当MN旋转到图3的位置时，AD、DE、根据旋转的特征，结合（1）、（2）DE、AD、BE所满足的等量关系是DE=BE – AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）