Question

7．如图1，点A（0，a），B（-a，0）分别在y轴，x轴上（a＞0），以AB为对角线作长方形ACBD，点C在第二象限内运动．
（1）若方程$\frac{x+4}{x-2}$+1=$\frac{x-14}{2-x}$的解是a，求A，B两点的坐标；
（2）延长BD交y轴于E，AD交x轴于F，连结EF，求证：EF⊥AB；
（3）如图2，连结OD，求∠ODA的度数．

Answer 1

分析 （1）解方程即可得到结论；
（2）延长EF交AB于G，由点A（0，a），B（-a，0），得到AO=BO=a，求得∠ABO=∠BAO=45°，根据余角的性质得到∠OAF=∠OBE，根据全等三角形的性质得到OF=OE，得到∠OFE=45°，求得∠GFB=∠OFE=45°，于是得到结论；
（3）根据圆周角定理即可得到结论．

解答 解：（1）解方程$\frac{x+4}{x-2}$+1=$\frac{x-14}{2-x}$得x=4，
∵方程$\frac{x+4}{x-2}$+1=$\frac{x-14}{2-x}$的解是a，
∴a=4，
∴点A（0，4），B（-4，0）；

（2）延长EF交AB于G，
∵点A（0，a），B（-a，0），
∴AO=BO=a，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∵四边形ACBD是矩形，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADE=90°，
∴∠OAF+∠AED=∠OBE+∠AED=90°，
∴∠OAF=∠OBE，
在△AOF与△BOE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAF=∠OBE}\\{OA=OB}\\{∠AOF=∠BOE}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△BOE，
∴OF=OE，
∴∠OFE=45°，
∴∠GFB=∠OFE=45°，
∴∠GBF=45°，
∴∠BGF=90°，
∴EF⊥AB；

（3）∵∠ADB=∠AOB=90°，
∴A，B，D，O四点共圆，
∴∠ADO=∠ABO=45°．

点评 本题考查了全是三角形的判定和性质，分式方程的解法，矩形的性质，四点共圆，正确的识别图形是解题的关键．