Question

7．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，BE⊥AC，AD，BE相交于点M，若AC=8，BM=4，则⊙O的半径等于（　　）

• A． 2$\sqrt{5}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 4$\sqrt{2}$
• D． 6

Answer 1

分析 作直径AH，连接HB、HC，作OF⊥AC于F，连接CM，延长CM交AB于点N，则CN⊥AB，推出∠HCA=∠HBA=90°，证出四边形HBMC为平行四边形，求出HC，根据垂径定理求出AF，根据中位线得出OF，再根据勾股定理求出OA即可．

解答 解：作直径AH，连接HB、HC，作OF⊥AC于F，连接CM，延长CM交AB于点N，则CN⊥AB，如图所示：
∵AH为直径，
∴∠HCA=∠HBA=90°，
∵CN⊥AB，BE⊥AC，
∴∠CNA=∠BEA=90°
∴∠HBA=∠CNA，∠HCA=∠BEA，
∴HB∥CN，HC∥BE，
∴四边形HBMC为平行四边形，
∴BM=HC=4，
∵OF⊥CC，OF过O，
∴根据垂径定理：CF=FA=$\frac{1}{2}$AC=4，
∵AO=OH，
∴OF为△ACH的中位线，
∴OF=$\frac{1}{2}$HC=2，
∴在Rt△AOF中，OA²=OF²+AF²=2²+4²=20，
∴AO=2$\sqrt{5}$；
故选：A．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、垂径定理、垂心定理、三角形中位线定理等知识；通过作辅助线构建平行四边形是解决问题的关键．