题目内容
6．
已知直线y1=2$\sqrt{21}$x和直线y2=-2$\sqrt{21}$x+16$\sqrt{21}$相交与点A，直线y2与x轴交于点C，D为OA中点．（1）如果点P在线段OC上以3厘米每秒的速度由O点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△OPD与△CQP是否全等？请说明理由．
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△OPD与△CQP全等？
（2）若点Q以?②中的运动速度由点C出发，点P以原来的速度从点O同时出发，都逆时针沿△OCA三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△OCA的哪条边上相遇？
分析 （1）①先求得OP=CQ=3厘米，再由点C是直线y2与x轴交点，可求出点C的坐标，即得线段OC的长度，从而求得CP的长度，再求出点A的坐标，过点A做OC边上的高，即可得到三角形AOC是等腰三角形，可得∠DOP=∠PCQ，再利用勾股定理可求得OA的长度，因为D为OA中点，可求得OD的长度，再利用两边及夹角是否对应相等即可判定；②因为点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，所以OP≠CQ，又∠DOP=∠PCQ，要使△OPD与△CQP全等，只能0P=CP=4厘米，根据全等得出CQ=OD=2$\sqrt{85}$厘米，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和CQ的长即可求得Q的运动速度；
（2）设经过x秒点P与点Q第一次相遇，利用路程问题可列方程，解出即可得时间，再利用所求时间求得点P的路程即可得到所在的边．
解答 解：（1）①∵经过1秒，
∴OP=CQ=3厘米，
如图，过点A做AB⊥x轴垂足为
∵点C是直线y2与x轴交点，
∴令y=0，代入y2=-2$\sqrt{21}$x+16$\sqrt{21}$得，
-2$\sqrt{21}$x+16$\sqrt{21}$=0
解得，x=8，
∴点C的坐标为（8，0），
∴OC=8厘米，
∵点A是直线y1=2$\sqrt{21}$x和直线y2=-2$\sqrt{21}$x+16$\sqrt{21}$交点
∴$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1=}2\sqrt{21}x}\\{{y}_{2}=-2\sqrt{21}x+16\sqrt{21}}\end{array}\right.$
解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=8\sqrt{21}}\end{array}\right.$
∴点A的坐标为（4，8$\sqrt{21}$），
∴OB=BC=4厘米，
∴AB垂直平分OC，
∴OA=CA，
∴∠DOP=∠PCQ，
∴在Rt△OAB中，OA=$\sqrt{{OB}^{2}{+AB}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}{+（8\sqrt{21}）}^{2}}$=4$\sqrt{85}$厘米，
∵D为OA中点，
∴OD=2$\sqrt{85}$厘米，
又∵OC=8厘米，OP=CQ=3厘米，
∴CP=5厘米，
∴△OPD与△CQP中，
OP=CQ=3厘米，∠DOP=∠PCQ，CP≠OD，
∴△OPD与△CQP不全等；
②∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴OP≠CQ，
又∵∠DOP=∠PCQ，
可能使△OPD与△CQP全等，只能OP=CP=4厘米
∵△OPD≌△CPQ，
∴CQ=OD=2$\sqrt{85}$厘米．
∴点P的运动时间t=$\frac{4}{3}$秒，
∴点Q的运动速度为2$\sqrt{85}$÷$\frac{4}{3}$=$\frac{3\sqrt{85}}{2}$（厘米/秒），
∴当点Q的运动速度为$\frac{3\sqrt{85}}{2}$厘米/秒时，能够使△OPD与△CQP全等；
（2）设若点Q以?②中的运动速度由点C出发，点P以原来的速度从点O同时出发，都逆时针沿△OCA三边运动，经过x秒，点P与点Q第一次在△OCA的边上相遇，
则由题意可列方程，
$\frac{3\sqrt{85}}{2}$x=3x+8$\sqrt{85}$
解得，x=$\frac{1360+32\sqrt{85}}{243}$秒
∴点P的运动路程为：$\frac{1360+32\sqrt{85}}{243}$×3=$\frac{1360+32\sqrt{85}}{81}$厘米，
∵OC+CA=8+4$\sqrt{85}$≈44，9厘米，$\frac{1360+32\sqrt{85}}{81}$厘米≈20.4厘米，
∴OC＜点P的运动路程＜OC+CA，
∴应在边CA上第一次相遇，
∴若点Q以?②中的运动速度由点C出发，点P以原来的速度从点O同时出发，都逆时针沿△OCA三边运动，经过$\frac{1360+32\sqrt{85}}{243}$秒，点P与点Q第一次在△OCA的边AC上相遇．
点评 本题主要考查一次函数的交点，与坐标轴的交点坐标的知识，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，以及数形结合思想的运用，通过点的坐标，求的线段的长度是解题的关键．
如图已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx-8k的图象与x轴交于点A，抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过O、A两点．
如图，已知圆锥的母线长为6，侧面展开图（扇形）的面积是12π，则这个圆锥侧面展开图中弧AC的长度是4π．