Question

15．在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，直线α经过点O，且α⊥BD交AD于E点，交BC于F点，
（1）若CF=2，BC比CD大3，求BF的长度．
（2）若∠DBC=30°，直线α沿射线ED的方向平移．设△OBF的面积为S₁，直线α在四边形OFCD中扫过的面积为S₂，x=S₂：S₁，求x的范围；
（3）在（1）的条件下，若M、N分别在线段BO、BF上的动点，直接写出FM+MN的最小值是$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接DF，设CD=x，则BC=x+3．首先证明DF=BF=x+1，在Rt△DFC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；
（2）如图2中，连接DF．利用相似三角形的性质求出，$\frac{{S}_{△BOF}}{{S}_{四边形ODCF}}$=$\frac{1}{2}$的值，即可解决问题；
（3）如图3中，连接EM，作EH⊥BC于H，交BD于K．易证BD垂直平分EF，推出ME=MF，推出MF+MN=EM+MN，根据垂线段最短可知，当M与K重合，N与H重合时，MF+MN的值最小，最小值为EH；

解答 解：（1）如图1中，连接DF，设CD=x，则BC=x+3．

∵CF=2，
∴BF=BC-CF=x+1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，∵EF⊥BD，
∴BF=DF=x+1．
在Rt△DFC中，∵DF²=CD²+CF²，
∴（x+1）²=x²+2²，
∴x=$\frac{3}{2}$，
∴BF=x+1=$\frac{5}{2}$．

（2）如图2中，连接DF．

∵四边形ABCD是矩形，
∴OD=OC，∠BCD=90°，
∵∠OBC=30°，
∴∠ODC=60°，
∴△ODC是等边三角形，设CD=OD=OC=OB=a，则BC=$\sqrt{3}$a，
∴∠OBF=∠CBD，∠BOF=∠BCD，
∴△BOF∽△BCD，
∴$\frac{{S}_{△BOF}}{{S}_{△BCD}}$=（$\frac{OB}{BC}$）²=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{{S}_{△BOF}}{{S}_{四边形ODCF}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$是最大值为2，
∴0＜x≤2．

（3）如图3中，连接EM，作EH⊥BC于H，交BD于K．

易证BD垂直平分EF，∴ME=MF，
∴MF+MN=EM+MN，
根据垂线段最短可知，当M与K重合，N与H重合时，MF+MN的值最小，最小值为EH，
∵四边形ABHE是矩形，
∴EH=AB=$\frac{3}{2}$，
∴MF+MN的最小值为$\frac{3}{2}$．
故答案为$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查几何变换综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会利用对称，根据垂线段最短解决最短问题，属于中考压轴题．