Question

11．在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，点E在边BC上，且BE=2CE，将矩形沿过点E的直线折叠，点C、D的对应点分别为C′、D′，折痕与边AD交于点F，当点B、C′、D′恰好在同一直线上时，AF的长为4$+\sqrt{3}$或4-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由折叠的性质得，∠EC′D′=∠C=90°，C′E=CE，在Rt△BC′E中，由于$\frac{BE}{C′E}$=2，得到∠C′BE=30°，①当点C′在BC的上方时，如图1，过E作EG⊥AD于G，延长EC′交AD于H，则四边形ABEG是矩形根据等边三角形的性质和矩形的性质即可得到AF═4+$\sqrt{3}$，②当点C′在BC的下方时，如图2，过F作FG⊥AD于G，D′F交BE于H，同①可得四边形ABGF是矩形根据矩形的性质和等边三角形的性质即可得到AF=4-$\sqrt{3}$．

解答 解：由折叠的性质得，∠EC′D′=∠C=90°，C′E=CE，
∵点B、C′、D′在同一直线上，
∴∠BC′E=90°，
∵BC=6，BE=2CE，
∴BE=4，C′E=CE=2，
在Rt△BC′E中，$\frac{BE}{C′E}$=2，
∴∠C′BE=30°，
①当点C′在BC的上方时，
如图1，过E作EG⊥AD于G，延长EC′交AD于H，则四边形ABEG是矩形，
∴EG=AB=3，AG=BE=4，
∵∠C′BE=30°，∠BC′E=90°，
∴∠BEC′=60°，
由折叠的性质得，∠C′EF=′CEF，
∴∠C′EF=∠CEF=60°，
∵AD∥BC，
∴∠HFE=∠CEF=60°，
∴△EFH是等边三角形，
∴在Rt△EFG中，EG=3，
∴GF=$\sqrt{3}$，
∴AF═4+$\sqrt{3}$，
②当点C′在BC的下方时，如图2，过F作FG⊥AD于G，D′F交BE于H，同①可得四边形ABGF是矩形，△EFH是等边三角形，
∴AF=BG，FG=AB=3，∠FEH=60°，
在Rt△EFG中，GE=$\sqrt{3}$，
∵BE=4，
∴BG=4-$\sqrt{3}$，
∴AF=4-$\sqrt{3}$，
综上所述，AF的长是4$+\sqrt{3}$或4-$\sqrt{3}$．
故答案为：4$+\sqrt{3}$或4-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．