Question

（1）探究规律：
已知：如图（1），点P为?ABCD内一点，△PAB、△PCD的面积分别记为S₁、S₂，□ABCD 的面积记为S，试探究S₁+S₂与S之间的关系．

（2）解决问题：
如图（2）矩形ABCD中，AB=6，BC=9，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，且AE=CG=4，AH=CF=3．点P为矩形内一点，四边形AEPH、四边形CGPF的面积分别记为S₁、S₂，求S₁+S₂．

Answer 1

考点：矩形的性质,平行四边形的性质

专题：

分析：（1）过P点做一条平行AB的直线EF，可得S₁的面积是平行四边形ABEF的一半，S₂是平行四边形EFDC的一半，继而可得出S₁+S₂=

1

2

S．
（2）连接EF、FG、GH、HE，证出四边形EFGH为平行四边形，求得四边形EFGH的面积，△HEP的面积+△GPF的面积=?EFGH面积的一半，再用S₁+S₂=△HEP的面积+△GPF的面积+△AEH的面积+△GFC的面积求解．

解答：答：（1）S₁+S₂=

1

2

S．
证明：如图（1），过P点做EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
则S₁=

1

2

S_?ABEF，S₂=

1

2

S_?EFDC，
∵S_?ABEF+S_?EFDC=S，
∴S₁+S₂=

1

2

S．
（2）如图（2），连接EF、FG、GH、HE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，
∵AE=CG，AH=CF，
在△AEH和△CGF中，

AE=CG ∠A=∠C AH=CF

，
∴△AEH和△CGF（SAS），
∴HE=FG，
同理得HG=FE，
∵AB=6，BC=9，AE=CG=4，AH=CF=3，
∴BE=AB-AE=6-4=2，BF=BC-CF=9-3=6，DG=CD-CG=6-4=2，HD=AD-AH=9-3=6，
∴△HEP的面积+△GPF的面积
=?EFGH面积的一半
=（矩形ABCD-4个三角形的面积）÷2
=（6×9-

1

2

×4×3-

1

2

×4×3-

1

2

×2×6-

1

2

×2×6）÷2
=15，
∴S₁+S₂=△HEP的面积+△GPF的面积+△AEH的面积+△GFC的面积
=15+

1

2

×4×3+

1

2

×4×3
=27．

点评：考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是掌握平行四边形对边平行的性质．同时考查了矩形的性质及全等三角形的判定及性质，注意面积的转化．