Question

【题目】如图所示，直线与坐标轴交于点，与抛物线交于点，点的坐标是．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点是线段上（不与重合）的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，过点作，交直线于点，以为边作矩形，请求出矩形周长的最大值；

（3）若点在轴正半轴上，当恰好是等腰三角形时，请直接写出点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），，

【解析】

（1）对于，令y=0求出x=-2即可得点A（-2，0），把A，C点坐标代入求出a，c的值即可；

（2）设点D的坐标是，则点E的坐标是，可得DE=，证明△DFE∽△BOA，得DF∶EF∶DE =3∶4∶5．从而可得矩形DFEG的周长，从而可得结论；

（3）由勾股定理求出AC=，设P(0，m)(m＞0)，然后分AP=AC，AC=PC，AP=PC三种情况列式求解即可.

解：（1）由知，y=0时x=-2，

∴A（-2，0）．

∵抛物线经过A（-2，0） 、C（4，）两点，

∴ 解得

∴抛物线的解析式为．

（2）∵DE∥y轴，点D在线段AC上，点E在抛物线上，

∴设点D的坐标是，则点E的坐标是．

∴DE=．

由知A（-2，0），B（0， ），

∴AO=2，OB=

Rt△OAB中，由勾股定理可得，AB=

∴OB∶OA∶AB =3∶4∶5．

由题意得，∠DFE=∠BOA=90°，∠EDF=∠ABO，

∴△DFE∽△BOA．

∴DF∶EF∶DE =3∶4∶5．

∴矩形DFEG的周长，其中．

∴当时，矩形DFEG的周长取得最大值．

（3）由题意得，，，

设，

①若，则

或（舍去）

②若，则

或（负值舍去）

③若，则

综上所述，点P的坐标为，，．