Question

【题目】如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，连接，已知，抛物线的对称轴交轴于点．

备用图

（1）求该抛物线的解析式；

（2）连接，能否在抛物线上找到一点，使得，若有求点的坐标，若没有说明理由；

（3）若点为上方抛物线上一动点，过点作轴交于点，过点作，垂足为，当的周长最大时，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）和；（3）

【解析】

（1）由抛物线解析式可知点C坐标，由可知OB长，易得点B坐标，将点B坐标代入抛物线解析式可得该抛物线的解析式；

（2）分2种情况讨论，①若，过点作，交于点，过点作轴于点，由作图可得利用相似三角形对应线段成比例的性质及勾股定理可得点Q坐标，求出直线CQ的解析式，代入抛物线解析式易得点M坐标；②若，延长交于点，过点作轴于点，根据等边三角形三线合一，，则，利用全等三角形的性质可得点H坐标，求出直线CH的解析式代入抛物线解析式可求得点M坐标；

（3）由题意可知，易知，当的周长最大只需最大即可，求出所在直线的解析式，设，则，可表示出，易知当时，最大，即的周长最大，把代入即可求出点P坐标.

解：（1）抛物线与轴相交于点，

点的坐标为，，

，点的坐标为

把代入得：

该抛物线的解析式为：

（2）如图，若，过点作，交于点，过点作轴于点

抛物线的对称轴交轴于点

由作图可得：

设，则

在中，

在中，

，得

，可得：

，

所在直线的解析式为：

把代入解得：

（舍去），

把代入

得：

另一种情况：如图，若，延长交于点，过点作轴于点，根据等边三角形三线合一，，

则

，

，，

所在直线的解析式为：

把代入解得：

（舍去），

把代入得：

综上所述，满足条件的点有两个，分别为：

和

（3）过点作轴交于点，过点作，垂足为，

在中，，，所以

的周长最大只需最大即可，

，

所在直线的解析式为：

点为上方抛物线上一动点，点在上，且轴

设，则

当时，最大，即的周长最大，

把代入得：

即当的周长最大时，点的坐标为．