Question

16．如图，A，B两个村子在一条河的同侧，A，B两村到河岸的距离分别为AC=1km，BD=3km，其中CD=3km．现在要在河岸CD上建一个水厂，向A，B两个村庄输送自来水，请你在CD上选择水厂的位置O，使铺设的水管总长度最小？

Answer 1

分析 作点A关于CD的对称点E，连结BE交CD于点O，如图，根据对称的性质得OA=OE，AC=CE=1，则OA+OB=OE+OB=BE，根据两点之间线段最短得到此时点O使OA+OB最小，设OC=xkm，则OD=（3-x）km，再证明△ECO∽△BDO，利用相似比得$\frac{x}{3-x}$=$\frac{1}{3}$，然后利用比例性质求出x即可．

解答 解：作点A关于CD的对称点E，连结BE交CD于点O，如图，
∵点A关于CD的对称点E，
∴OA=OE，AC=CE=1，
∴OA+OB=OE+OB=BE，
∴此时点O使OA+OB最小，
设OC=xkm，则OD=（3-x）km，
∵CE∥BD，
∴△ECO∽△BDO，
∴$\frac{CO}{OD}$=$\frac{CE}{BD}$，即$\frac{x}{3-x}$=$\frac{1}{3}$，解得x=1.5（km）．
答：在CD上选择在离C处1.5km的地方建水厂，使铺设的水管总长度最小．

点评 本题考查了相似三角形的应用：用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的长度．也考查了最短路径问题．